A constituição de uma teoria das proporções na Geometria de 1637: demonstrações geométricas versus construções de curvas mecânicas em Descartes

Resumo

A teoria das proporções de Descartes expressa a sistematização matemática do modus operandi do seu método. Tal teoria, portanto, permite Descartes realizar na Geometria de 1637 a demonstração analítica ou sintética do movimento de figuras a partir de determinados lugares e propriedades geométricas previamente conhecidas por uma análise especificamente algébrica. Na mencionada obra de 1637, Descartes identifica quais são os problemas de Geometria, a saber, os problemas planos, sólidos e lineares. Na sequência, como mostraremos neste artigo, ele distingue dois tipos de construções, a saber, as construções geométricas e as construções mecânicas. No desdobramento deste raciocínio, Descartes identifica os lugares geométricos a partir da análise de retas, círculos e das secções cônicas: parábola, hipérbole e elipse. Para ele, esses lugares são concebidos algebricamente, o que lhe evidencia a exatidão da razão. A partir da inteligibilidade algébrica desses lugares geométricos, ele explica a determinação de propriedades analíticas mediante as construções da concóide e explica a identificação dos pontos por meio da construção das ovais. Assinala-se que tais construções são efetuadas por movimentos regulares, revelando, assim, a aplicação da sua teoria das proporções. Todavia, as construções mecânicas, tais como a espiral e a quadratriz, são propostas por Descartes de maneira diferente, pois elas requerem o uso da imaginação ao prescrevem um movimento infinito. Diante disso, explicaremos no presente artigo como ele constata que uma plena investigação analítica é comprometida, mas admite a possibilidade de mensurar, em alguns casos, uma regularidade constante em tal movimento mediante os raciocínios de sua teoria das proporções.